複数表示させたカテゴリーラベルの表示順を指定したい

get_the_terms() で取得したタームの各データには、親が何かというプロパティ（parent）があるので、get_the_terms() で取得したタームをループで回し、それで判定して並び替えたものを $args['vars']['_terms'] に入れる、という形はどうでしょう？

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こんな感じでしょうか。

add_filter(
	'snow_monkey_get_template_part_args',
	function( $args ) {
		// 記事一覧カテゴリー以外のテンプレートの場合は無視
		if ( 'template-parts/loop/entry-summary/term/term' !== $args['slug'] ) {
			return $args;
		}

		// 投稿以外の場合は無視
		if ( 'post' !== $args['name'] ) {
			return $args;
		}

		// 全ての設定されたカテゴリーを返す
		$terms = get_the_terms( get_the_ID(), 'category' );
		$parent_terms = [];
		$child_terms  = [];
		foreach ( $terms as $term ) {
			if ( ! $term->parent ) {
				$parent_terms[] = $term;
			} else {
				$child_terms[] = $term;
			}
		}
		$args['vars']['_terms'] = array_merge( $parent_terms, $child_terms );

		return $args;
	}
);

表示させたい条件によって変わってくると思うので、上記を参考に調整してください。

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