投稿のヘッダー部分の、更新日を非表示にしたいです。 

投稿のヘッダー部分というのはタイトル下部のメタアイテムの事でしょうか？

My Snow Monkey でコードを書いてみてください。

各要素の消し方としては、下記のトピックも参考にしてください。

記事内エントリーメタアイテム要素の消し方

このトピックには0件の返信、1人の参加者があり、最後にKmical Lightsにより3ヶ月、 1週前に更新さ…

snow-monkey.2inc.org

add_action(
	'snow_monkey_entry_meta_items',
	function() {
		if ( 'modified-date' === get_theme_mod( 'post-date' ) ) {
			// 更新日を削除
//			remove_action( 'snow_monkey_entry_meta_items', 'snow_monkey_entry_meta_items_modified', 20 );
			//
		} elseif ( 'modified-date-high' === get_theme_mod( 'post-date' ) ) {
			// 更新日を削除
//			remove_action( 'snow_monkey_entry_meta_items', 'snow_monkey_entry_meta_items_modified', 10 );
		}
	},
	9	// 優先度は9必須
);

すみません、記述間違っていました。
remove_action が記載されている行の　//　を消してください。

うーん…何故でしょう。
カスタマイザーの「SEO」→「構造化データ」によって並び順などが変更されますがそちらの設定はどのようになっているでしょうか？もし、設定されていないのであれば、if文は削除しても問題ないと思いますので、下記のように差し替えてください。

add_action(
	'snow_monkey_entry_meta_items',
	function() {
		remove_action( 'snow_monkey_entry_meta_items', 'snow_monkey_entry_meta_items_modified', 20 );
		remove_action( 'snow_monkey_entry_meta_items', 'snow_monkey_entry_meta_items_modified', 10 );
	},
	9,
	0
);

—

また、よくあるケースを下記に書いておきます。

1. My Snow Monkey が有効化されているか確認してみてください。
2. ダウンロードされた My Snow Monkey の記述は削除せず、行を追加する形で記述してください。
3. サポートフォーラムやWordPress上のエディター仕様によっては、コードのコピー＆ペーストを行う際に、 ‘(アポストロフィ） になる場合があります。 その部分の記述を '（シングルクォーテーション） に修正してみてください。

記載されているコードはアポストロフィになっているので、3のケースが該当している可能性もあるかもしれません。一度、そちらも確認をお願いできますか？