グローバルナビの小さい文字の部分、スマホでも表示することはできますか？

設定からはできませんが、コードを追加することで実現できます。

下記のコードを My Snow Monkey プラグインか、子テーマの functions.php にコピペしてみてください。

add_filter(
	'nav_menu_item_title',
	function( $title, $item, $args, $depth ) {
		$show_description = 0 === (int) $depth && 'drawer-nav' === $args->theme_location;
		if ( ! $show_description ) {
			return $title;
		}

		$title = sprintf( '<span>%1$s</span>', $title );

		if ( $item->description ) {
			$title = $title . sprintf( '<small>%1$s</small>', esc_html( $item->description ) );
		}

		return $title;
	},
	10,
	4
);

見た目は CSS で適当に調整が必要かなと思います。