さっそくのご回答、ありがとうございました。
1)の方法で対応できました。
『最近の投稿』ブロックのブロック設定において、投稿タイプが切り替えできるのに気づいていなかったのが原因でした。
ここを表示しようとしているカスタム投稿タイプに切り替えることで、想定通りの動作を実現することができました。
blog のカスタム投稿アーカイブページにも影響する(最近の投稿ブロックと同じレイアウトになる)ので・・・
今回は同じレイアウトで問題ないのでこれで大丈夫です。
違うレイアウトが必要になった時の参考にさせていただきます。
ありがとうございました。
※補足
「新着情報」の部分も現状はカスタム HTML ブロックでしょうか?
「新着情報」の部分は、運用の都合上、カスタムHTMLブロック内に単純に p タグと a タグで記述しています。