投稿ページのアイキャッチの仕様について

うーん、そうですね、やるとすればカスタムフィールド系プラグインを使うのが簡単かもですね（それでも子テーマで編集が必要なので難しくはあります）。

アイキャッチ画像は、記事一覧画面、ページヘッダー画像、だけではなく、OGP の画像や記事下部の前後ナビの背景画像なんかにも使われています。なので、まずはどの画像をアイキャッチ画像にして、どの画像をカスタムフィールド画像にするのかを決めたほうが良いですね。

function.phpで表示をするより、小テーマでテンプレートを改廃したほうが、自由度や改廃のしやすさは有るのかな？というイメージでいますが、その場合、テーマファイルを小テーマのディレクトリにコピーコピーして、表示位置を改廃するという流れになりますでしょうか

そうですね、この部分に関しては子テーマでおこなうことになります。

まず、適当なカスタムフィールドプラグインを入れて（もちろん独自実装でも構いません）、サムネイル画像用の項目を設定してください。ここではカスタムフィールドの値として、画像のIDを保存する場合で進めます。

次に、 /snow-monkey/template-parts/loop/entry-summary-post.php を /子テーマ/template-parts/loop/entry-summary-post.php にコピーしてください。

そして、<?php the_post_thumbnail( 'xlarge' ); ?> の部分を、

<?php
// 画像の ID 用のカスタムフィールド名が「thumbnail-image-id」だったとして
$thumbnail_image_id = get_post_meta( 'thumbnail-image-id' );
if ( $thumbnail_image_id ) {
    echo wp_get_attachment_image( $thumbnail_image_id, 'xlarge' );
}
?>

に置き換えてみてください。

※ Snow Monkey は他のテーマに比べれば細かくテンプレートを分けているほうではありますが、それでも /template-parts/loop/entry-summary-post.php はそこそこの大きさがあるので、アップデートの際はご注意ください。