まず、Snow Monkey はデフォルトで FontAwesome(JavaScript 版)を読み込んでいるので、基本的には FontAwesome は使用できるはずです。
で、提示いただいた参考サイトは、ボタンブロックの中にアイコンを表示しようとしている場合の例でして、ボタンブロックの中には HTML を書けないために、ショートコードを使っている、ということになります。
ページ上の任意場所に、フックを使ったり、テンプレートを上書きしたりしてアイコンを表示する場合は普通に HTML が書けるのでショートコードを使う必要はありません。
コードに<i class="fa-solid fa-globe"></i>
を追加したが表示がされない
とのことですが、具体的にどこに表示しようとして、どこにそのコードを追加したのか教えてください!