Snow Monkey の検索結果ページ（search.php）においては、検索キーワードがない場合は検索結果ではなく「検索キーワードを入力してください。」という表示をするビューファイル（templates/view/no-keywords.php）を読み込むという仕様になっています。
VK Filter Search Pro に詳しくないのですが、例えば検索結果に影響しないような検索キーワードを追加できるのであればそれを追加するのが一番シンプルかもしれません。
もしそれができないのであれば、現状は search.php を上書きしてビューファイルを読み込む条件を変更するしか無いのかなぁと思います。子テーマに search.php を作成し Snow Monkey の search.php をまるごとコピー、
if ( ! get_search_query() && ( ! $queried_object || is_a( $queried_object, 'WP_Post_Type' ) ) ) {
Controller::render( 'no-keywords' );
} elseif ( have_posts() ) {
$archive_view = get_theme_mod( $_post_type . '-archive-view' );
$archive_view = $archive_view ? $archive_view : $_post_type;
Controller::render( 'search', $archive_view );
} else {
Controller::render( 'no-match' );
}
となっているところを
if ( have_posts() ) {
$archive_view = get_theme_mod( $_post_type . '-archive-view' );
$archive_view = $archive_view ? $archive_view : $_post_type;
Controller::render( 'search', $archive_view );
} else {
Controller::render( 'no-match' );
}
に変更すると「検索キーワードを入力してください。」のビューファイルは常に読み込まなくなります。
テンプレートの上書きには Snow Monkey がアップデートしてそのテンプレートが更新されたとしても、その更新が反映されないということが起こり得るのでその点は注意してください（これは Snow Monkey ではなくて WordPress のテンプレートの上書きという仕組みの仕様です）。
