snow_monkey_template_part_render_ フックの第2引数（$name）に投稿タイプ名が入ってくるのでそれで判定するのはどうでしょうか？ 設定によっては意図した投稿タイプ名が入ってこない場合もありますが、とりあえず確認してみてください。
あと、アーカイブページでは記事タイトル名が h2 ですが、任意のタクソノミーブロックでは h3 になるので preg_replace() を使う形に書き換えるのが良いと思います。下記サンプルコードです。
add_filter(
'snow_monkey_template_part_render_template-parts/loop/entry-summary/title/title',
function ( $html, $name ) {
if ( 'news' === $name ) {
$html = preg_replace(
'|(</h[23]>)|ms',
'$1あいうえお',
$html
);
}
return $html;
},
10,
2
);
②カスタム投稿のアーカイブページの横一列の表示数を３つから４つに変更したい。
できれば任意のタクソノミー投稿の表示数も3つから4つに変更したい。
1トピック1課題でお願いしているので、お手数おかけして申し訳ありませんが↑の課題については別にトピックを立ててください！
